自我介绍
什么是微积分
函数是人类第一次对自然规律的抽象体现，而微积分是一门研究连续变化的函数的学科。
为了判断函数是不是连续的，微积分引入了极限的概念，并指出函数是连续的当且仅当$\forall x,lim_{x’\rightarrow x}f(x’)=f(x)$。
因为函数是连续变化的，因此我们可以研究函数在某一点的变化趋势，这个变化趋势包括变化的方向，变化的快慢，变化的转折(函数极值)。因此我们引入了微分。微分给出了我们对于复杂函数的局部用简单的线性函数与多项式函数进行逼近的可能性，法则与误差分析，这是它的工程意义。
同时在研究微分的时候，我们需要考虑它的逆运算，即给定一个连续函数$f$，它可以成为什么样的函数的导数呢？($F’(x)=f(x)$)
在定义了微分与积分的运算后，我们对它们分配了不同的记号$d,\int$，这些记号可以作用在函数上$\frac{df}{dx},\int f dx$。
一个很自然的问题是，这些运算与我们常用的四则运算有什么样的不同之处？这些运算满足交换律，结合律，分配律吗？这些运算在什么情况下能用，什么情况下不能用？针对这些情况我们进行了讨论，并给出了微积分运算的一些规律。
以上组成了整个微积分的体系。
为什么要学好微积分
金融，经济，管理
AI，CS
Data Science
还有概率论与数理统计等后续课程
还有计量经济学，中微高微中宏高宏等课程
微积分都是基石
如何学好微积分
首先，无论如何都要形成对某种定理的数学直观。
其次，多做题。一道定理十道题。
如何及格
- 老师划过的课后习题刷一遍
- 历年试卷刷一遍
- 按时交作业，不要漏交
- 不懂的多问问别人
如何获得$>80$的分数
- 默写书本中每一个定理的证明
- Chap.3 之后所有的课后习题刷一遍
- 历年试卷自己带着思考做一遍
上课要求
多问，不懂就问。
符号不明白？问！
某一步别人都懂了就我没懂，我不好意思提？问！
随时打断问！
弱小和无知都不是生存的障碍，傲慢才是
参考书目
苏德矿的书太难了，我实在看不下去怎么办？
- 普林斯顿微积分读本(The calculus life saver)
- 托马斯微积分
Chap .3
费马定理
费马定理是高中知识，它是寻找极值点的重要工具，它给出了一个函数取到极值的条件，也是所有中值定理的基石。它的叙述如下： \(f(x)在x处取得极值，如果f(x_0)的左导数和右导数存在，那么f'(x_0)=0\) 费马证明需要用$(\epsilon,\delta)$数学分析语言，因此一般不作要求。
罗尔定理
罗尔定理是费马定理的一个非常自然的推论，它是说，如果在闭区间$[a,b]$上连续，且在开区间$(a,b)$上可导的函数在区间两端取相同的值$f(a)=f(b)$，那么$f(x)$在$[a,b]$内一定有极值点$x_0,a<x_0<b$，满足$f’(x_0)=0$
罗尔定理的证明是一件很显然的事情，首先闭区间上的连续函数必定有最大值最小值，如果最大值最小值同时在端点处取得，同时端点值又相等，那么函数$f(x)$在$[a,b]$上就是一条直线，显然处处$f’(x)=0$，如果最大值最小值有一个不在端点，那么由费马定理就可以自然推出结果。
罗尔定理的直观
想象你正开车沿着高速公路行驶. 我看到你在一家加油站停了下来. 然后你继续前行, 始终没有改变方向, 虽然你随时可以掉转方向. 过了一段时间, 我又在这家加油站看见了你, 但我不曾跟着你, 看你在这段时间里都做了什么. 我断定：在我不曾跟着看你的某个时刻, 你的车速为零.
为什么我会有信心这样说？其实, 有可能你从来就没有离开过加油站, 这样的话, 你的速度一直为零. 而如果你确实离开过加油站, 并往前开, 那你最终必定在某处掉了头, 否则你不可能又回到加油站. 那么当你停止前进开始掉头时会发生什么呢？你必定停下来过, 哪怕只是一瞬间! 你不可能掉转方向而不让车停下来. 这同抛球运动的情况相似. 在球到达最高点的这一瞬间, 它的速度为零.
另一方面, 你还有可能曾离开加油站, 并倒着开. 在这种情况下, 你也必定曾在某个时刻将挡位由后退改为前进, 而结果是相同的：你在某处停下来过. 无论你向哪个方向走, 你都可能停下来过很多次; 但我知道你至少停下来过一次. 这就是罗尔定理所讲的内容.
拉格朗日定理
拉格朗日定理的直观
想象你开始了另一段旅行, 我发现你在两个小时之内行驶了 100 英里. 因此, 你的平均速度为 50 英里/小时. 这并不是说你在整个行驶过程中速度始终维持在恰好 50 英里/小时. 现在, 我的问题是：你的速度曾经达到过 50 英里/小时吗？哪怕只是一瞬间.
答案是肯定的. 即使你在开始的第一个小时速度为 45 英里/小时, 第二小时为 55 英里/小时, 你仍然不得不从低速加速到高速. 而在这个过程中, 你有一瞬间的速度会是 50 英里/小时. 这是不可避免的! 不管你整个的行驶过程是怎样的, 如果你的平均速度为 50 英里/小时, 那么你会有至少一次瞬时速度为 50 英里/小时.4 当然, 你可能达到 50 英里/小时不止一次 —— 可能很多次, 甚至你能始终以 50 英里/小时的匀速行进. 这就引出了中值定理.
拉格朗日定理的证明
拉格朗日定理的证明是罗尔定理经过一点变化下的推论，它的证明技巧主要是把函数的零点化为函数导数的零点，并通过构造首尾两端相等的函数，用罗尔定理得到零点。
\[\exist \xi \in (a,b),\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\]它等价于
\[\exist \xi \in (a,b),f(b)-f(a)-(b-a)f'(\xi)=0\]等价于证明
\[\exist \xi \in (a,b),F'(\xi)=0,F(x)=(f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)\]只需要证明$F(b)=F(a)$即可
这种证明方式可以用到一道习题中，即p 132页18题，大家可以做一下，然后可以总结一下这种题目有什么类型
Tips:
(1) 需要用反证法，构造矛盾证明如果$\exist t\in(a,b),g(t)=0$，那么$\exist \xi\in(a,b),g’’(\xi)=0$
(2) $[f(x)g’(x)-f’(x)g(x)]’$
柯西定理
柯西定理是拉格朗日定理的推论，它研究的是对于$x$轴施加连续的扭曲(distort)后，新的坐标轴下是否有类似于拉格朗日中值定理的推断
我们证明留作一个习题，但是我们要分析一下其中的一个错误证明方法
这种证明方式用到的典型习题是p131 7题，这一类习题的类型是分母不能写成典型的$b-a$形式，这就是我们所说的”施加了连续变化”
泰勒定理
泰勒定理的证明用的是柯西定理的推论，当$n=1$的时候，泰勒定理就是拉格朗日定理。
但是泰勒定理又是怎么想出来的呢？它们怎么就知道有这种形式在呢？
注意我们说过，微分给出了我们对于复杂函数的局部用简单的线性函数与多项式函数进行逼近的可能性，法则与误差分析，这是它的工程意义。我们就通过这个工程意义来引导出泰勒定理的表现形式。
假如我们想要拟合一个连续函数$f(x)$，但是我只有一些样本点$(x_1,f(x_1),(x_2,f(x_2))…,(x_n,f(x_n))$，假设我现在有$x$,它不同于$x_1,…,x_n$，我如何估计$x$呢？这是一个很有现实意义的问题，因为在经济中我们常常会用$2000-2018$年的数据来估计$2019$年的数据（比如估计国内生产总值等）。
一个很自然的想法是，我们用离$x$最近的点来估计$f(x)$，比如$x_3$离$x$最近，我们就考虑用$f(x_3)$来估计$f(x_0)$，那么直接说$f(x_0)=f(x_3)$显然是不那么妥当的，那么怎样基于$f(x_3)$来进行估计呢？$f(x_0)-f(x_3)$到底是一个什么形式呢？
比较自然的想法是$f(x_0)-f(x_3)$是一个关于$(x_0-x_3)$的多项式，即：
\[f(x_0)-f(x_3)=a_0(x_0-x_3)^0+a_1(x_0-x_3)+a_2(x_0-x_3)^2+...+a_n(x_0-x_3)^n\]那么如何求$a_0,a_1,…,a_n$呢？
两边求导嘛！
我们关于两边求$n$次导数，那么注意$(x_0-x_3)^t,t<n$的项求$n$次导全部变成0了，因此有
$n! a_n=f^{n}(x_0)$,$a_n=\frac{f^n(x_0)}{n!}$
这就是如何想到泰勒公式的由来。
泰勒公式的证明与使用
泰勒定理的证明用的是柯西定理的推论，也是罗尔定理的推论，我们来进行证明。
从泰勒公式到Peano定理到麦克劳林公式
用泰勒公式求极限
例题选讲
p 132
17，21，22
22题需要先做再讲，Tips
$[f(x)e^{-kx}]’$